Meia vida

Uma amiga minha disse estar tendo dificuldades em entender o conceito de meia vida e que até o professor dela se confunde nas explicações.

Mas meia vida não é tão complicada assim.

Primeiro vamos entender uma coisa: físicos, engenheiros e químicos gostam de complicar as coisas, de criar fórmulas complicadas a serem decoradas. Já os matemáticos são conhecidos como os preguiçosos da ciência: sempre procuram a forma mais fácil de resolver os problemas.

Por sorte, meia vida é um problema matemático!

Para químicos e físicos, meia vida é um decaimento exponencial, o período de semidesintegração de um isótopo para desintegrar metade de sua massa; para matemáticos, não passa de uma função.

Complicado? Nem tanto…

Os professores gostam de uma fórmula de sete cabeças:

 N  = e^-λ·t

 N₀             

Enrolado, não?

— Não!

A fórmula parece complicada porque foi dada antes do conceito ter sido compreendido. Então, vamos recomeçar do zero.

De modo simples, meia vida é o tempo que leva pra uma certa quantidade de uma substância radioativa se reduzir à metade.

Ou seja, se 1kg de uma substância X se desintegra e, em 20 anos, sobram 500g (a metade), o tempo de meia vida é de 20 anos.

A parte legal é que, em mais 20 anos (40 anos no total, 2 × meia vida) terá se reduzido à metade de novo, 250g, ou seja, 1/4 do original.

Daí deduzimos que cada vez que se passa o período de meia vida, a quantidade se reduz pela metade de novo.

Então considere:

• m = massa em relação à quantidade original.
• t = quantidade de unidades de meia vida passados – por ex., se a meia vida é 20 anos e se passaram 50 anos, t é igual a 50 / 20 = 2.5.

A fórmula fica muito simples:

m =  1 

        2^t

Simples, não?

Vamos a um exemplo: digamos que um elemento de meia vida de 68 anos tenha perdido 10% de sua massa. Quanto tempo levou?

A massa atual 10% menor que a original, ou seja: 1 - 0,1 = 0,9. Podemos usar isso em nossa fórmula:

_9_ =  1 

 10      2^t

Podemos inverter as frações:

         10_ = 2^t

9

É uma equação fácil de resolver, precisamos apenas aplicar logaritmo binário:

log₂(10/9) = log₂2^t

log₂(10/9) = t

t = 0,152

Então se passou 0,152 do período de meia vida. Como sabemos que a meia vida é de 68 anos, o tempo transcorrido foi de:

0,152 × 68 anos = 10 anos e 123 dias aproximadamente

Não é tão complicado, ou é? Matemática simples.

O truque é tentar lidar com o problema em etapas, sem se preocupar com a complexidade geral.

[]’s
Cacilhας, La Batalema